f（x）=cosx，则函数的周期为2π，故“f（x）=cosx”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故A不正确；

∀α∈R，f（α+x）=f（α-x），则任意实数都是函数的周期，故“∀α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故B不正确；

f（1+x）=f（1-x），则函数的周期为2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故C不正确；

∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），则函数的周期为2α，故“∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故D正确；

故选D