问题
填空题
若命题p:∀x∈[1,3],x2-2ax+5>0是假命题,则实数a的取值范围是______.
答案
∵命题p:∀x∈[1,3],x2-2ax+5>0是假命题,
∴∃x∈[1,3],使得x2-2ax+5≤0,可得,图象开口向上,△=(-2a)2-4×5=4a2-20;
y=x2-2ax+5,令y=0,方程的两个根,得x1=a+1 2
,x2=a-4a2-20 1 2 4a2-20
要使∴∃x∈[1,3],使得x2-2ax+5≤0,
只要有一个根在[1,3]之间就可以,
可得:
或△>0 1≤x1≤3 △>0 1≤x2≤3
解得:
≤a≤37 3
若△=0,可得a=±
,5
当a=-
,可得方程的根为x=-5
,不满足,题意;5
当a=
,可得方程的根为x=5
,方程存在根x=5
使得x2-2ax+5=0,符合题意;5
综上:实数a的取值范围是{
}∪[5
,3];7 3
故答案为{
}∪[5
,3];7 3