问题
选择题
已知△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，分析如下说法：
①如果∠B与∠C的平分线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
②如果AB，AC两边上的高线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
③如果AB，AC两边上的中线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
④在上述任何一种情况下，都有AO⊥BC．
以上说法中，正确的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
答案
①因为△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，
所以∠B=∠C，∠B与∠C的平分线相交于O，
则∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正确；
②若AB，AC两边上的高线相交于O，
则CE⊥AB且交AB于E，BF⊥AC交AC于F，
因为∠B=∠C，BC=BC，所以△CEB≌△CBF，
所以∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正确；
③如果AB，AC两边上的中线相交于O，
设CE交AB于E，BF交AC于F，
因为是等腰三角形，所以AE=BE，CF=AF，
又∠B=∠C，BC=BC，根据SAS可得△CEB≌△CBF，
所以∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正确；
④因为上述任何一种情况都满足△OBC是等腰三角形，
所以AO的延长线必定过BC中点，且AO⊥BC，正确．
故选A．