问题 问答题

已知曲线

求曲线C距离xOy面最远和最近的点.

答案

参考答案:

[分析]: 点(x,y,z)到xOy面的距离为|z|,故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标,等价地求函数H=z2在条件x2+y2-2z2=0与x+y+3z=5的最大值点和最小值点.
[解] 设P(x,y,z)为曲线C上的任意一点,则点P到xOy平面的距离为|z|,问题转化为求x2+y2在约束条件x2+y2-2z2=0与x+y+3z=5下的最值点.令拉格朗日函数为
F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+λ(x2+y2-2z2)+μ(x+y+3z-5)
解方程组


得x=y,从而


得可能极值点:


.
根据几何意义,曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点,故所求的点依次为(-5,-5,5)和(1,1,1).
[评注] 本题考察两个约束条件

下的函数u=(x,y,z)的条件极值问题,可类似地构造拉格朗日函数


解出可能极值点后,直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)即可.

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