A中，由α∥β，m⊂α，n⊂β，可知m，n无公共点，则m，n平行或异面，故A错误；

B中，如图所示：α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，但α与β相交，故B错误；

C中，设α∩β=n，由a⊥β，m⊂β，根据面面垂直性质知，若m⊥n，则m⊥α，否则m不垂直α；

D中，由m∥α知，过m可作平面γ交α于p，据线面平行的性质得m∥p，因为m⊥β，所以p⊥β，又p⊂α，所以α⊥β，故D正确；

故选D．