问题
解答题
一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点．
（1）点B是反比例函数图象上一点，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，四边形OCBD的周长为8，求OB长．
（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，在反比例函数图象上是否存在点P（记横坐标为m）使得△APA′面积为2m？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设反比例函数的解析式是：y=
，把A的坐标代入得：k=3，k x
则函数的解析式是：y=
；3 x
设B的坐标是（a，b），则ab=3，
∵四边形OCBD的周长为8，
∴|a|+|b|=4，
∴OB=
=|a|2+|b|2
=(|a|+|b|)2-2|a||b|
=16-2×3
；10
（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，则A′的坐标是（-1，-3），
AA’所在直线方程为y=3x，
AA’=2
，P坐标为（m，10
）3 m
点P到直线 AA’的距离d=
=|3m-
|3 m 1+32 |3m-
|3 m 10
面积S=
×21 2
•10
=|3m-|3m-
|3 m 10
|=2m，3 m
①3m-
＞0时，m∈（-1，0）∪（1，+∞）3 m
3m-
=2m，解得m=3 m
或-3
（-3
不合题意，舍去）；3
②3m-
＜0时，m∈（-∞，-1）∪（0，1）3 m
3m-
=-2m 解得m=3 m
或-15 5
（-15 5
不合题意，舍去）．15 5