问题 解答题

已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.

(1)是否存在实数a,使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在,求出符合条件的a,若不存在,请说明理由.

(2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,对于任意的n∈N+,均有Sn∈A,求a的取值范围.

答案

(1)当a<1时,A={x|a≤x≤1},不符合;

当a≥1时,A={x|-2≤x≤1},设a∈[n,n+1),n∈N,则

1+2++n=

n(n+1)
2
=28,

所以n=7,即a∈[7,8)

(2)当a≥1时,A={x|1≤x≤a}.而S2=a+a2∉A,故a≥1时,不存在满足条件的a;

当0<a<1时,A={a≤x≤1},而Sn=

a(1-an)
1-a
是关于n的增函数,

所以Sn随n的增大而增大,

Sn

a
1-a
且无限接近
a
1-a
时,对任意的n∈N+,Sn∈A,只须a满足
0<a<1
a
1-a
≤1
解得0<a≤
1
2

当a<-1时,A={x|a≤x≤1}.

而S3-a=a2+a3=a2(1+a)<0,S3∉A故不存在实数a满足条件.

当a=-1时,A={x|-1≤x≤1}.S2n-1=-1,S2n=0,适合.

⑤当-1<a<0时,A={x|a≤x≤1}.S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n(1+a)>S2n-1,S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1(1+a)<S2n

∴S2n-1<S2n+1,S2n+2<S2n,且S2=S1+a2>S1

故S1<S3<S5<…<S2n+1<S2n<S2n-2<…<S4<S2

故只需

S2∈A
S1∈A
a+a2≤1
-1<a<0

解得-1<a<0.

综上所述,a的取值范围是{a|0<a≤

1
2
或-1≤a<0}.

不定项选择
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