（1）圆C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，

表示圆心为C（-1，2），半径等于

2

的圆．

设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，过原点的切线方程为kx-y=0，

则圆心C到切线的距离等于半径，

可得：

2

=

|-1+2-a|

2

，求得a=-1或3．

再由

2

=

|-k+2|

k2+1

，求得k=2±

6

，

故所求的切线的方程为x+y-3=0或x+y+1=0或y=（2±

6

）x；

（2）由（1）圆C（x+1）²+（y-2）²=2的圆心在（-1，2），半径等于

2

．

∵点P（m，n）关于直线x-y-3=0的对称的点为P'（n+3，m-3）

∴点（-1，2）关于直线x-y-3=0对称的点的

坐标为（2+3，-1-3）即（5，-4），

故圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程是（x-5）²+（y+4）²=2；

（3）设P的坐标为（x，y）

由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，

∴|PM|²=|PC|²-r²．

又∵|PM|=|PO|，∴|PC|²-r²=|PO|²，

∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．

∴2x₁-4y₁+3=0即为动点P的轨迹方程．

∵原点在直线2x-4y+3=0上的射影点为（-

3

10

，

3

5

），

∴使|PM|最小的P点的坐标为（-

3

10

，

3

5

）．