利用数学归纳法证明．

①当n=1时，a₁=

1

2

＜1；

②假设n=k时，不等式成立，即ak=

1+22+33+…+kk

(k+1)k

＜1．

那么n=k+1时，ak+1=

1+22+33+…+(k+1)k+1

(k+2)k+1

＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1

=

(k+1)k

(k+2)k

＜1．

这就是说，n=k+1时，不等式也成立．

所以an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，对于n∈N^*时，a_n＜1成立．