证明：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM．

由射影定理，得AM*AM=AC'*AB，AP*AP=AC*AB'，又B、C、B'、C'四点共圆，

由切割线定理，AC'*AB=AC*AB'，

∴AM=AP，又AM=AN，AP=AQ（垂直于直径的弦性质），

∴AM=AP=AN=AQ，M、N、P、Q是共圆心为A的圆．

须证MK•KN=PK•KQ，

即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）

=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）

或MC′²-KC′²=PB′²-KB′²．①

∵AP=AM（所对弧长相等），

从而有AB′²+PB′²=AC′²+MC′²．

故MC′²-PB′²=AB′²-AC′²

=（AK²-KB′²）-（AK²-KC′²）

=KC′²-KB′²．②

由②即得①，命题得证．