问题
填空题
已知正三角形的边长为a，那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S=______．
答案
如图所示，BC=a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC=
=120°，360° 3
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=
∠BOC=1 2
×120°=60°，BD=CD=1 2
BC=1 2
，a 2
∴OB=
=BD sin∠BOD
=a 2 3 2
；
a3 3
∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=
×1 2
=
a3 3
，
a3 6
∴S大圆=π（OB）2=π（
）2=
a3 3
，πa2 3
S小圆=π（OD）2=π（
）2=
a3 6
，πa2 12
∴S圆环=S大圆-S小圆=
-πa2 3
=πa2 12
．πa2 4