问题
解答题
今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． |
答案
（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)=
=C 110 C 210 C 320 15 38
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为
．…（4分）15 38
（II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
．所以…（6分）P(ξ=0)=1 3
(C 04
)0(1 3
)4=2 3
；P(ξ=1)=16 81
(C 14
)1(1 3
)3=2 3
；P(ξ=2)=32 81
(C 24
)2(1 3
)2=2 3
=24 81
；P(ξ=3)=8 27
(C 34
)3(1 3
)1=2 3
；8 81
P(ξ=4)=
(C 44
)4(1 3
)0=2 3
．…（11分）1 81
随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
所以Eξ=0×
+1×16 81
+2×32 81
+3×24 81
+4×8 81
=1 81
…（13分）4 3
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
．…（5分）1 3
则随机变量ξ服从参数为4，
的二项分布，即ξ～B(4，1 3
)．…（7分）1 3
随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |