问题
解答题
一个袋中有20个大小相同的小球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球，用ξ表示所取球的标号．
（1）求ξ的分布列的数学期望和方差；
（2）若η=aξ+b，E（η）=2，D（η）=44，试求a、b的值．
答案
（1）由题设知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=
=10 20
，1 2
P（ξ=1）=
，1 20
P（ξ=2）=
=2 20
，1 10
P（ξ=3）=
，3 20
P（ξ=4）=
=4 20
，1 5
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
∴Eξ=0×
+1×1 2
+2×1 20
+3×1 10
+4×3 20
=1.5．…（4分）1 5
Dξ=(0-1.5)2×
+(1-1.5)2×1 2
+(2-1.5)2×1 20
+(3-1.5)2×1 10
+(4-1.5)2×3 20
=2.75．…（6分）1 5
（2）由η=a2Dξ，得a2×2.75=44，即a=±4，…（8分）
又Eη=aEξ+b，
∴当a=4时，由2=4×1.5+b，得b=-4；
当a=-4时，由2=-4×1.5+b，得b=8．
∴
或a=4 b=-4
即为所求．…（12分）a=-4 b=8