问题
解答题
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由； （Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）． |
答案
（Ⅰ） 众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（4分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（6分）
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．…（8分）
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=
．…（9分）9 10
随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B(2，
)．9 10
所以P(ξ=k)=
(C k2
)k(1-9 10
)2-k(k=0，1，2)，…（11分）9 10
所以变量ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | ||||||
| p |
|
|
|
Eξ=0×
+1×1 100
+2×18 100
=1.8（天），或Eξ=nP=2×81 100
=1.8（天）．…（13分）9 10