问题
解答题
一个箱中原来装有大小相同的 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球．规定：进行一次操 作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白 球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”
（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4 的概率；
（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．
答案
（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，
B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，
A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，
B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．
则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．
由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=
×3 5
=2 5
．6 25
B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．
由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）=
×2 5
=4 5
．8 25
A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．
∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=
+6 25
=8 25
．14 25
（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．
P（X=3）
×3 5
=3 5
，P（X=4）=9 25
，14 25
P（X=5）=
×2 5
=1 5
．2 25
进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：
进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望
EX=3×
+4×9 25
+5×14 25
=2 25
．93 25