在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj

问题解答题

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂P₃…P_m中，若1≤i＜j≤m时，P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a_n，如排列21的逆序数a₁=1，排列4321的逆序数a₃=6．
（1）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式（用n表示，不要求证明）；
（2）令b_n=

an+1

-2，求b₁+b₂+…b_n并证明b₁+b₂+…b_n＜3，n=1，2，…．

答案

（1）由排列21的逆序数a₁=1，排列4321的逆序数a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，

∴a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

；

（2）∵a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

，b_n=

an+1

-2，

∴b_n=

an+1

-2=

n+2

-2=

n+2

，

∴b₁+b₂+…+b_n=2[（

）+（

）+…+（

n+2

）]=3-

n+1

n+2

；

又∵n=1，2，…，

∴b₁+b₂+…b_n=3-

n+1

n+2

＜3．