问题
解答题
已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值．
答案
如果（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都小于a2+b2+c2，
则 （a+b+c）2+（a+b-c）2+（b+c-a）2+（c+a-b）2＜4（a2+b2+c2），
∴（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）+（a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc）+（b2+c2+a2+2bc-2ac-2ab）+（c2+a2+b2+2ac-2bc-2ab）＜4（a2+b2+c2），
整理得：0＜0，明显不成立． 故这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值；
同理，如果（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都大于a2+b2+c2，
可得0＞0 也不成立，
故（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值，命题得证．
