10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29μm，30

问题解答题

10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29μm，30μm，31μm的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为19μm，20μm，21μm的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η，周长为μ．

（1）分别在下表中，填写随机变量ξ和η的分布律；

（2）求周长μ的分布律，并列表表示；

（3）求周长μ的期望值．

答案

（1）作出如图的分布律表格即可

长度ζ（μm）	29	30	31
P	0.3	0.5	0.2

宽度η（μm）	19	20	21
P	0.3	0.4	0.3

（2）P（μ=96）=0.3×0.3=0.09；P（μ=98）=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27；P（μ=100）=0.5×0.4+0.2×0.3+0.3×0.3=0.35；

P（μ=102）=0.2×0.4+0.5×0.3=0.23；P（μ=104）=0.2×0.3=0.06．

周长分布列如下表所示

周长μ μm	96	98	100	102	104
P	0.09	0.27	0.35	0.28	0.06

（3）解法一：（利用周长的分布计算）Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8．

解法二：（利用矩形长与宽的期望计算）由长和宽的分布列可以算得

Eζ=29×P（ζ=29）+30×P（ζ=30）+31×P（ζ=31）=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9，

Eη=19×P（η=19）+20×P（η=20）+21×P（η=21）=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20．

由期望的性质可得Eμ=2（Eζ+Eη）=2×（29.9+20）=99.8．