问题
解答题
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
答案
设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a2+b2=c2（2）
∴（a+b）2=（6-c）2（3）
∵
ab=9-3c为整数，1 2
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，c=
或7 3
；8 3
当c=
时，根据（1）（2）式有：b=6或7 3
，a=-4 3
或7 3
，不合题意．7 3
当c=
时，根据（1）（2）式有：b=8 3
，a=5- 7 3
或a=5+ 7 3
，b=5- 7 3
，5+ 7 3
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为
与5- 7 3
，斜边为5+ 7 3
．8 3