问题
解答题
甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E（X）．
答案
（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{an}，则易知a1=40，an=10n+30，
∴Sn=
=300，n(10n+70) 2
解得n=-12（舍去）或n=5，所以此决赛共比赛了5场． …（3分）
则前4场比赛的比分必为1：3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为
(C 14
)4=1 2
；…（6分）1 4
（II）随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490 …（7分）
又P(X=220)=2•(
)4=1 2
，P(X=300)=1 8
(C 14
)4=1 2
…（8分）P(X=390)=1 4
(C 25
)5=1 2
，P(X=490)=5 16
(C 36
)6=1 2
…（12分）5 16
所以，X的分布列为
| X | 220 | 300 | 390 | 490 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 16 |