问题
解答题
已知α+θ=1,αθ=﹣1.设S1=α+θ,S2=α2+θ2,S3=α3+θ3,…,Sn=αn+θn
(1)计算:S1=_________,S2=_________,S3=_________,S4=_________;
(2)试写出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α7+θ7.
答案
解:(1)α +θ=1,αθ=﹣1.
∴S1=α+θ=1.
S2=α2+θ2=(α+θ)2﹣2αθ=1+2=3.
(2)由(1)得:Sn=Sn﹣1+Sn﹣2.
证明:α,θ是方程x2﹣x﹣1=0的两根,
∴有:α2=α+1,θ2=θ+1,
Sn﹣1+Sn﹣2=αn﹣1+θn﹣1+αn﹣2+θn﹣2
=+
+
+
=+
=αn+θn
=Sn.
故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2.
(3)由(2)有: