已知α+θ=1，αθ=﹣1．设S1=α+θ，S2=α2+θ2，S3=α3+θ3，

问题解答题

已知α+θ=1，αθ=﹣1．设S₁=α+θ，S₂=α²+θ²，S₃=α³+θ³，…，S_n=αⁿ+θⁿ

（1）计算：S₁=_________，S₂=_________，S₃=_________，S₄=_________；

（2）试写出S_n﹣2、S_n﹣1、S_n三者之间的关系；

（3）根据以上得出结论计算：α⁷+θ⁷．

答案

解：（1）α +θ=1，αθ=﹣1．

∴S₁=α+θ=1．

S₂=α²+θ²=（α+θ）²﹣2αθ=1+2=3．

（2）由（1）得：S_n=S_n﹣1+S_n﹣2．

证明：α，θ是方程x²﹣x﹣1=0的两根，

∴有：α²=α+1，θ²=θ+1，

S_n﹣1+S_n﹣2=α^n﹣1+θ^n﹣1+α^n﹣2+θ^n﹣2

=+++

=αⁿ+θⁿ

=S_n．

故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．

（3）由（2）有：