问题
解答题
已知α+θ=1，αθ=﹣1．设S1=α+θ，S2=α2+θ2，S3=α3+θ3，…，Sn=αn+θn
（1）计算：S1=_________，S2=_________，S3=_________，S4=_________；
（2）试写出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+θ7．
答案
解：（1）α +θ=1，αθ=﹣1．
∴S1=α+θ=1．
S2=α2+θ2=（α+θ）2﹣2αθ=1+2=3．
（2）由（1）得：Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
证明：α，θ是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴有：α2=α+1，θ2=θ+1，
Sn﹣1+Sn﹣2=αn﹣1+θn﹣1+αn﹣2+θn﹣2
=
+
+
+
=
+
=αn+θn
=Sn．
故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
（3）由（2）有：
