问题
解答题
广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列； （III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P． |
答案
（Ⅰ）记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，
∴Ex=
(90×19+60×21+30×7+0×3)=63．…（1分）1 50
（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 …（2分）
P(ξ=0)=
(C 03
)0(4 5
)3=1 5
…（3分）1 125
P(ξ=1)=
(C 13
)1(4 5
)2=1 5
…（4分）12 125
P(ξ=2)=
(C 23
)2(4 5
)1=1 5
…（5分）48 125
P(ξ=3)=
(C 33
)3(4 5
)0=1 5
…（6分）64 125
∴ξ分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1
①满足m=0且n=60的事件数为：A 13
=63…（8分）A 121
②满足m=0且n=90的事件数为：A 13
=57…（9分）A 119
③满足m=30且n=90的事件数为：A 17
=133…（10分）A 119
∴P1=
=63+57+133 A 250
…（11分）253 2450
所以满足条件n＜m+60的事件的概率为P=1-P1=1-
=253 2450
．…（12分）2197 2450
方法二：基本事件的总数为
=2450A 250
满足条件n＜m+60的有如下各种情况：
①满足m=0时，n=0，30的事件数为：A 13
…（8分）A 19
②满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：A 17
…（9分）A 130
③满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：A 121
…（10分）A 149
④满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：A 119
…（11分）A 149
所以P=
=A 13
+A 19 A 17
+A 130 A 121
+A 149 A 119 A 49 A 250
=3×9+7×30+21×49+19×49 50×49
…（12分）2197 2450