问题 问答题

设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T
(1) 求A的属于特征值3的特征向量;
(2) 求矩阵A.

答案

参考答案:(1) 由题设,实对称矩阵A的三个特征值不同,则相应的特征向量彼此正交,设A的属于特征值3的特征向量为α3=(x1,x2,x3)T,则

,写成线性方程组的形式为


可解得

,其中C为任意非零常数,所以A的属于特征值3的特征向量为α3=C(1,0,1)T
(2) 由于实对称阵必可对角化.即存在可逆矩阵P,使

,且由前述可令


因此


先求出

,则

解析:[评注] 在求A的过程中,也可由特征值、特征向量的定义来求,即由Aαi=iαi(i=1,2,3),知A(α1,α2,α3)=(α1,2α2,3α3),记P=(α1,α2,α3),B=(α1,2α2,3α3),由|P|≠0,所以A=BP-1
[考点提示] 矩阵运算、特征值和特征向量.

单项选择题
问答题