问题
问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．
(1) 求A的属于特征值3的特征向量；
(2) 求矩阵A．
答案
参考答案：(1) 由题设，实对称矩阵A的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设A的属于特征值3的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则
，写成线性方程组的形式为
可解得
，其中C为任意非零常数，所以A的属于特征值3的特征向量为α3=C(1，0，1)T．
(2) 由于实对称阵必可对角化．即存在可逆矩阵P，使
，且由前述可令
因此
先求出
，则
解析：[评注] 在求A的过程中，也可由特征值、特征向量的定义来求，即由Aαi=iαi(i=1，2，3)，知A(α1，α2，α3)=(α1，2α2，3α3)，记P=(α1，α2，α3)，B=(α1，2α2，3α3)，由|P|≠0，所以A=BP-1．
[考点提示] 矩阵运算、特征值和特征向量．