问题
问答题
设随机变量X的分布函数为
其中参数a＞0，β＞1．设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，
(Ⅰ) 当α=1时，求未知参数β的矩估计量；
(Ⅱ)当α=1时求未知参数β的最大似然估计量；
(Ⅲ) 当β=2时，求未知参数α的最大似然估计量．
答案
参考答案：(Ⅰ) 当a=1时，X的分布函数为
则X的概率密度函数为
此时
令
，则
，从而参数β的矩估计量为
(Ⅱ) 对于总体X的简单随机样本值X1，X2，…，Xn引入似然函数
当xi＞1(i=1，2，…，n)时，L(β)＞0，取对数得
则
令
，可解得
，所以β的最大似然估计量为
(Ⅲ) 当β一2时，X的分布函数为
则X的概率密度函数为
对于总体X的简单随机样本值X1，X2，…，Xn引入似然函数
当xi＞α(i=1，2，…，n)时，
，且是α的增函数，因此
α＜min(x1，x2，…，xn)，
从而α∈(0，min(x1，x2，…，xn)．
由于 L(α)是α的增函数，所以α的最大似然估计量为
解析：[考点提示] 矩估计、最大似然估计．