设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵其

问题问答题

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵

其中A^*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．
(1) 计算并化简PQ；
(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是α^T…A^-1α≠b．

答案

参考答案：(1) 由题设A非奇异，则|A|≠0，由公式AA^*=A^*A=|A|E，则

(2) 由题设，知|P|=|A|≠0．所以
|PQ|=|P||Q|=|A|·|A|·(b-α^TA^-1α)=|A|²(b-α^TA^-1α)，
从而|Q|=|A|(b-α^TA^-1α)，
显然|Q|≠0．即b≠α^TA^-1α就是矩阵Q可逆的充分必要条件．证毕．

解析：[考点提示] 分块矩阵的运算、矩阵可逆的充分必要条件．