现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是p1，每次射击击中乙靶的概率是p2，其中p1＞p2，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为
（Ⅰ）求p1，p2的值； （Ⅱ）假设该射手射击乙靶三次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．在三次射击中，若有两次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记η为该射手射击三次后的总的分数，求η的分布列； （Ⅲ）某研究小组发现，该射手在n次射击中，击中目标的次数X服从二项分布．且射击甲靶10次最有可能击中8次，射击乙靶10次最有可能击中7次．试探究：如果X：B（n，p），其中0＜p＜1，求使P（X=k）（0≤k≤n）最大自然数k． |
（Ⅰ）记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A，
“该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B，
则由题意得，
，P(AB)= 8 15 P( . A
)=. B 1 15
由各次射击结果互不影响得
，P(A)P(B)= 8 15 P(
)P(. A
)=. B 1 15
即
，p1p2= 8 15 (1-p1)(1-p2)= 1 15
解得p1=
，p2=4 5
．…（3分）2 3
（Ⅱ）η的所有可能取值为0，1，2，3，6．…（4分）
记“该射手第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3），
则P(η=0)=P(. A1 . A2
)=(1-. A3
)3=2 3
，P(η=1)=P(A11 27 . A2
+. A3
A2. A1
+. A3 . A1
A3)=P(A1. A2 . A2
)+P(. A3
A2. A1
)+P(. A3 . A1
A3). A2
=
×(1-2 3
)2+(1-2 3
)×2 3
×(1-2 3
)+(1-2 3
)2×2 3
=2 3
，P(η=2)=P(A12 9
A3)=. A2
×(1-2 3
)×2 3
=2 3
，P(η=3)=P(A1A24 27
+. A3
A2A3)=P(A1A2. A1
)+P(. A3
A2A3)=(. A1
)2×(1-2 3
)+(1-2 3
)×(2 3
)2=2 3
，P(η=6)=P(A1A2A3)=(8 27
)3=2 3
．8 27
所以η的分布列为：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | 6 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
（Ⅲ）考察不等式
=P(X=k+1) P(X=k)
=
pk+1(1-p)n-k-1C k+1n
pk(1-p)n-kC kn
•n-k k+1
≥1，p 1-p
得k≤（n+1）p-1．
①如果（n+1）p是正整数，那么（n+1）p-1也是正整数．
此时，可以使：k=（n+1）p-1，即k+1=（n+1）p，
且P（X=k+1）=P（X=k）．
则当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值．
②如果（n+1）p不是正整数，那么不等式
≥1不可能取等号．P(X=k+1) P(X=k)
所以，对任何k，P（X=k+1）≠P（X=k）．
所以，当k+1＜（n+1）p时，P（X=k+1）＞P（X=k）．
记小于（n+1）p的最大整数为[（n+1）p]，
则当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．
综上可知，如果（n+1）p是正整数，当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值；
如果（n+1）p不是正整数，当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．…（14分）