问题
解答题
| 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分； ②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局； ③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ． |
答案
设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件．由题意得P(M1)=
，P(M2)=3 4
，P(M3)=1 2
，P(M4)=1 3
，1 4
则P(N1)=
，P(N2)=1 4
，P(N3)=1 2
，P(N4)=2 3
．3 4
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4
由于每题答题结果相互独立，
∴P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）
=P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）=
•3 4
•1 2
+1 3
•1 4
•1 2
•1 3
+1 4
•3 4
•1 2
•1 3
+1 4
•3 4
•1 2
•2 3
+1 4
•1 4
•1 2
•2 3
=1 4 1 4
（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，
由于每题的答题结果都是相对独立的，
∵P(ξ=2)=P(N1N2)=
，1 8
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)=
•3 4
•1 2
+1 3
•3 4
•1 2
=2 3
，3 8
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-
-1 8
=3 8 1 2
∴Eξ=2×
+3×1 8
+4×3 8
=1 2
．27 8