问题
解答题
为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率． |
答案
（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
+4 30
=6 30
，1 3
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
．1 3
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C
（ 03
）0（1 3
）3=2 3
；P（X=1）=C8 27
（ 13
）1（1 3
）2=2 3
；4 9
P（X=2）=C
（ 23
）2（1 3
）=2 3
；2 9
P（X=3）=C
（ 33
）3（1 3
）0=2 3
；1 27
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
故Eξ=0×
+1×8 27
+2×4 9
+3×2 9
=1，所求期望值为1．1 27
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为
，C 230
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C
（C 14
+C 110
+C 17
）； 13
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C
（C 16
+C 17
）； 13
当m=60时，n=30，基本事件的数为C
C 110
； 13
∴P（M）=
=
(C 14
+C 110
+C 17
)+C 13
(C 16
+C 17
)+C 13 C 110 C 13 C 230
．34 87
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为
．34 87