问题
解答题
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提前通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． |
答案
（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，
则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3．…（2分）
P(ξ=1)=
=C 14 C 22 C 36
，P(ξ=2)=1 5
=C 24 C 12 C 36
，P(ξ=3)=3 5
=C 34 C 02 C 36
．1 5
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| p |
|
|
|
Eξ=1×
+2×1 5
+3×3 5
=2，1 5
因为P(η=0)=
(1-C 03
)3=2 3
，同理：P(η=1)=1 27
，P(η=2)=6 27
，P(η=3)=12 27
．8 27
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| p |
|
|
|
|
Eη=0×
+1×1 27
+2×6 27
+3×12 27
=2．…（9分）8 27
（2）∵Dξ=(2-1)2×
+(2-2)2×1 5
+(2-3)2×3 5
=1 5
，…（10分）2 5
Dη=(2-0)2×
+(2-1)2×1 27
+(2-2)2×6 27
+(2-3)2×12 27
=8 27
．…（11分）2 3
（或Dη=npq=3×
×2 3
=1 3
）．∴Dξ＜Dη．2 3
∵P(ξ≥2)=
+3 5
=0.8，P(η≥2)=1 5
+12 27
≈0.74，8 27
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）．
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．…（12分）