问题
解答题
已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a的最小值．
答案
设a-b=m（m是素数），ab=n2（n是正整数）．
∵（a+b）2-4ab=（a-b）2，
∴（2a-m）2-4n2=m2，
即：（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m2．
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n＞2a-m-2n （m为素数），
∴2a-m+2n=m2，2a-m-2n=1，
解得：a=
，n=(m+1)2 4
，m2-1 4
∴b=a-m=
，(m-1)2 4
∵a≥2012，
∴
≥2012，(m+1)2 4
∵m是素数，
解得：m≥89，
此时，a≥
=2025，(89+1)2 4
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．
∴a的最小值为2025．