问题
单项选择题
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的
，问雪堆全部融化需要多少小时
答案
参考答案：F
解析：[考点提示] 微分方程．
[解题分析] 本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间t作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法．
(1) 以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积[*]，侧面积S=2πr2，由题设知
[*]
化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程，因[*]解之得r=-kt+C．由初始条件r|t=0=r0，可得出C=r0．所以r=r0-kt．又由已知[*]从而
[*]
可求出[*]因此[*]雪堆全部融化时r=0，从而[*]得t=6，即全部融化需6小时．
(2) 以雪堆体积V为未知函数，在时刻t，[*]侧面积S=2πr2，即[*]由
题设得
[*]
此即以V为未知函数的微分方程．分离变量，得
[*]
两边积分，得[*]
由已知，当t=0时，[*]当t=3时，
[*]
代入上式分别得到
[*]
联立此两式可解出
[*]
从而有[*]
令V=O，则t=6，即雪堆全部融化需6小时．