参考答案：u"+4u=e^x．

解析：[考点提示] 二阶变系数线性非齐次微分方程．
[解题分析] 题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解．应先由[*]求得y’，y"与u’，u"的关系如下，将y=asecx两边对x求导，
得
y’=u’secx+usecx·tanx． ①
再由①式两边对x求导，得
y"=u"secx+2u’secx·tanx+usecx·tan²x+usec³x． ②
将①、②式代人原方程，得u"+4u=e^x．该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=-2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x．设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u"+4u=e^x，得A[*]，因此[*]．因此非齐次方程通解为
[*]
其中C₁，C₂为任意常数．
由代换[*]原方程通解为
[*]
注：本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx的两边对x求导，得
u’=y’cosx-ysinx． ③
再由③式两边对x求导，得
u"=y"cosx-2y’sinx-ycosx． ④
③、④式与①、②式是等价的，代入原方程都可得出同样的方程
u"+4u=e^x．