已知f(x)=(x1k+x)n，且正整数n满足Cn3=Cn5，A={0，1，2，

问题解答题

已知f(x)=(x

+x)n，且正整数n满足C_n³=C_n⁵，A={0，1，2，…n}
（1）求n；
（2）若i、j∈A，是否存在j，当i≥j时，C_nⁱ≤C_n^j恒成立．若存在，求出最小的j；若不存在，试说明理由．
（3）k∈A，若f（x）的展开式有且只有三个有理项，求k．

答案

（1）根据题意中C_n³=C_n⁵，结合C_n^m=C_n^n-m，

则n=8

（2）由（1）的结论，n=8，

当n=8时，C₈^m（m=0、1、2…、8）中，C₈⁴最大，

即i≥j≥4时，满足C_nⁱ≤C_n^j恒成立，

则最小的j=4；

（3）f(x)=(x

+x)8展开式通项为Tr+1=

)8-r•xr=

8-r

依题意，只须8-r是k的整数倍的r有且只有三个，

分别令k=1，2，3…8，代入通项中，

检验得k=3或4；

故k=3或4．