已知f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为19

问题解答题

已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中x的系数为19，求f（x）的展式式中x²的系数的最小值．

答案

f（x）=1+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m+1+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ=2+（C_m¹+C_n¹）x+（C_m²+C_n²）x²+…（2分）

由题意m+n=19（m，n∈N^*）…（4分）

x²项的系数为

m(m-1)

n(n-1)

=(m-

)2+

19×17

…（8分）

∵m，n∈N^*

∴当m=9或10时，即m=10，n=9或m=9，n=10时，x²项的系数取得最小值，最小值为81…（12分）