问题 选择题
已知an是多项式(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥2,n∈N*)的展开式中含x2项的系数,则
lim
n→∞
an
n3
的值是(  )
A.0B.
1
6
C.
1
3
D.
1
2
答案

解;因为(1+x)n中含x2的系数为Cn2,所以多项式(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥2,n∈N*)的展开式中含x2项的系数

an=C22+C32+C42+C52+C62+…+Cn-12+Cn2=C33+C32+C42+C52+C62+…+Cn-12+Cn2=C43+C42+C52+C62+…+Cn-12+Cn2=C53+C52+C62…+Cn-12+Cn2=C63+C62+…+Cn-12+Cn2=C73+…+Cn-12+Cn2=…=Cn3

∴an=

n(n-1)(n-2)
3×2×1
=
n(n-1)(n-2)
6

∴则

lim
n→∞
an
n3
=
lim
n→∞
(1-
1
n
)(1-
2
n
)
6
=
1
6

故选择B

单项选择题
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