问题 问答题

匀强电场的方向沿x轴正向,电场强度E随x的分布如图所示.图中E0和d均为已知量,将带正电的质点A在O点由能止释放,A离开电场足够远后,再将另一带正电的质点B放在O点也由静止释放,当B在电场中运动时,A、B间的相互作用力及相互作用能均为零;B离开电场后,A、B间的相作用视为静电作用,已知A的电荷量为Q,A和B的质量分别为m和

m
4
,不计重力.

(1)求A在电场中的运动时间t;

(2)若B的电荷量q=

4
9
Q,求两质点相互作用能的最大值EPm

(3)为使B离开电场后不改变运动方向,求B所带电荷量的最大值qm

答案

(1)由牛顿第二定律,A在电场中运动的加速a=

f
m
=
QE0
m

   A在电场中做匀变速直线运动   d=

1
2
at2

解得运动时间t=

2d
a
=
2dm
QE 0 
 

(2)设A.B离开电场的速度分别为vA0、vB0,由动能定理,有

     QEOd=

1
2
m
v2A0
,qE0d=
1
2
m
4
v2B0
  ①

A、B相互作用的过程中,动量和能量均守恒,A、B间相互作用力为斥力,A受力方向与其运动方向相同,B受力方向与其运动方向相反,相互作用力A做正功,对B做负功.在AB靠近的过程中,B的路程大于A的路程,由于作用力大小相等,作用力对B做功的绝对值大于对A做功的绝对值,因此相互作用力做功之和为负,相互作用能增加,所以当A、B最接近时,相互作用能最大,因此两者速度相同,设v′,有

   (m+

m
4
)v′=mvA0+
m
4
vB0
   ②

Epm=(

1
2
m
v2A0
+
1
2
m
4
v2B0
)-
1
2
(m+
m
4
)v′2 ③

又已知 q=

4
9
Q,由①②③解得  相互作用能的最大值为 Epm=
1
45
QE0d

(3)考虑A、B在x>d区间的运动,由动量守恒、能量守恒,且在初态和末态均无相互作用,有

  mvA+

m
4
vB=mvA0+
m
4
vB0
  ④

 

1
2
m
v2A
+
1
2
m
4
v2B
=
1
2
m
v2A0
+
1
2
m
4
v2B0
   ⑤

由④⑤解得  vB=-

3
5
vB0+
8
5
vA0

因B不改变运动方向,故vB≥0  ⑥

由①⑥解得  q≤

16
9
Q

即B所带电荷量的最大值为 Qm=

16
9
Q

答:(1)求A在电场中的运动时间t是

2dm
QE 0 

(2)若B的电荷量q=

4
9
Q,两质点相互作用能的最大值EPm
1
45
QE0d

(3)为使B离开电场后不改变运动方向,B所带电荷量的最大值qm

16
9
Q.

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