问题 问答题

图所示,质量为m,电荷量为-q,重力不能忽略的带电微粒,以初速度v0从金属板中央平行于金属板方向射入,金属板长为L,间距为d.求:

(1)微粒沿直线运动时的板间电压;

(2)微粒可以在两板间穿过时,两板间电压的范围;

(3)若不计微粒的重力,微粒穿过电场时速度的最大值.

答案

(1)微粒沿直线运动,则受力平衡,即mg=q

U
d

故板间电压U=

mgd
q

(2)微粒可以在两板间穿过,两临界点分别是恰沿上、下极板穿出:水平位移最小为L:

当电场力大于重力时,此时板间电压设为U1,加速度a=

q
U1
d
-mg
m
=
qU1-mgd
md
,微粒恰能沿着上极板穿出,

竖直方向:

d
2
=
1
2
at2
=
1
2
qU1-mgd
md
t2

水平方向:s=v0t=L ②

联立①②得:U1=

m
v20
d2
qL2
+
mgd
q

当重力大于电场力时,此时板间电压设为U2,加速度a=

mgd-qU2
md
,此时微粒恰能沿着下极板穿出

竖直方向:

d
2
=
1
2
at2
=
1
2
mgd-qU2
md
t2

水平方向:s=v0t=L ④

联立③④得:U2=

mgd
q
-
m
v20
d2
qL2

微粒可以在两板间穿过时,两板间电压的范围U2≤U≤U1

即:

mgd
q
-
m
v20
d2
qL2
≤U≤
m
v20
d2
qL2
+
mgd
q

(3)若不计微粒的重力,即微粒只受电场力作用,要求最大速度即微粒刚好穿过两板时的速度

微粒刚好穿过电场时,水平位移s=v0t=L ⑤

竖直位移:y=

d
2
=
1
2
at2

则:a=

v20
d
L2

根据F=ma,可得:F=

m
v20
d
L2

根据动能定理可得:F•

d
2
=
1
2
mv2-
1
2
m
v20

解得:v=v0

1+
d2
L2

答:(1)微粒沿直线运动时的板间电压为

mgd
q

(2)微粒可以在两板间穿过时,两板间电压的范围为

mgd
q
-
m
v20
d2
qL2
≤U≤
m
v20
d2
qL2
+
mgd
q

(3)若不计微粒的重力,微粒穿过电场时速度的最大值为v0

1+
d2
L2

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