问题 解答题

已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值,及m,n值.

答案

∵f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为

C1m
•2x+
C1n
•4x=(2m+4n)x,

∵f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,

∴m+2n=18,

∴f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为t=

C2m
•22+
C2n
•42=2m2-2m+8n2-8n,

∵m+2n=18,

∴m=18-2n,

∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612

=16(n2-

37
4
n+
153
4
),

∴当n=

37
8
时,t取最小值,但n∈N*

∴n=5时t最小,即x2项的系数最小,最小值为272,此时n=5,m=8.

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