问题 解答题
x,y为正整数,且两个分数之和
x2-1
y+1
+
y2-1
x+1
也是整数,求证:这两个分数都是整数.
答案

证明:两个数的和为自然数,则这两个数要么都是分数,要么都是整数(在此题中为自然数);

对于

x2-1
y+1
y2-1
x+1
的积有:
x2-1
y+1
×
y2-1
x+1
=(x-1)×(y-1),

由于x与y是自然数,那么 (x-1)×(y-1)也是自然数,

对于两个分数的乘积,可写成:(a+

1
m
)×(b+
1
n
)=ab+
a
n
+
b
m
+
1
mn
,其中a、b、m、n均为整数,

由于

1
mn
的存在,所以若两个数相乘得到的结果是整数,那么它们中至少有一个是整数,

对于本题而言,由于

x2-1
y+1
×
y2-1
x+1
=(x-1)×(y-1)为整数,

因此他们中至少有一个是整数,

又∵在(i)中知

x2-1
y+1
y2-1
x+1
要么同为整数,要么同为分数,

因此可得出结论:

x2-1
y+1
y2-1
x+1
都是整数.

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