先证n≤14时，题设的性质不成立．

当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除．

故n≤14时，题设的性质不成立．

因此，要使题设的性质成立，应有n≥15．

再证n=15时，题设的性质成立．

设a₁，a₂，…，a₁₅为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为：

（1）当a₁，a₂，…，a₁₅中个位数字为0的整数有两个时，

设a_i＜a_j，且a_i、a_j的个位数字为0，则满足a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j为连续的11个整数，其中a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j无进位．

设n_i表示a_i各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为n_i，n_i+1，…，n_i+9．

故这连续的10个数中至少有一个被8整除．

（2）当a₁，a₂，…，a₁₅中个位数字为0的整数有一个时（记为a_i），

①若整数i满足1≤i≤8时，则在a_i后面至少有7个连续整数，于是a_i，a_i+1，…，a_i+7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．

②若整数i满足9≤i≤15时，则在a_i前面至少有8个连续整数，不妨设a_i-8，a_i-7，…，a_i-1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．

综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．

而小于15个的任意连续整数不成立此性质．

∴n的最小值是15．