问题 问答题

设f(x)在x=0的某邻域内连续,且


(Ⅰ)求f(0),并证明f’(0)存在并求之.
(Ⅱ)设

且当x→0时

求常数b与k的值.

答案

参考答案:由式(2.9)及极限与无穷小的关系,解得
[*]
从而有
[*]
所以f’(0)存在且等于[*]
(Ⅱ)[*]
取k=3,由f’(0)的定义式,有
[*]
按题设它应等于1,所以[*]

解析:[评注] 如果一开始,题中就增设f’(0)存在,那么本题(Ⅰ)也可用佩亚诺余项泰勒公式处理,如下:
将f(x)展开至n=1,f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x),代入式(2.9)得
[*]
所以f(0)=1,[*]比原解(Ⅰ)要快.

选择题
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