问题
解答题
已知x+y+z=xyz，证明：x（1-y2）（1-z2）+y（1-x2）（1-z2）+z（1-x2）（1-y2）=4xyz．
答案
证明：∵x+y+z=xyz，
∴左边=x（1-z2-y2-y2z2）+y（1-z2-x2+x2z2）+（1-y2-x2+x2y2）
=（x+y+z）-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
=xyz-xy（y+x）-xz（x+z）-yz（y+z）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz-xy（xyz-z）-xz（xyz-y）-yz（xyz-x）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右边．
∴x（1-y2）（1-z2）+y（1-x2）（1-z2）+z（1-x2）（1-y2）=4xyz．
