已知fn(x)=(1+x)n，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x

问题解答题

已知fn(x)=(1+

)n，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

答案

（1）g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x）=(1+

)4+2(1+

)5+3(1+

)6，

∴g（x）中含x²项的系数为

=1+10+45=56．（3分）

（2）证明：由题意，p_n=2^n-1．（5分）

①当n=1时，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；

②假设当n=k时，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，

当n=k+1时，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）

=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）

∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，

代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．

综合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）对任意n∈N^*成立．（10分）