问题 解答题
已知数列{an}的前n项和Sn是二项式(1+2x)2n(n∈N*)展开式中含x奇次幂的系数和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设f(n)=
4
9an+12
,求cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
),求
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
的值.
答案

(1)记(1+2x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n

令x=1得:32n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n

令x=-1得:1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n

两式相减得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1

∴Sn=

1
2
(9n-1)(4分)

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×9n-1当n=1时,a1=S1=4,适合上式

∴an=4×9n-1(n∈N)    (6分)

(2)f(n)=

4
9n+12
=
1
9n+3

注意到f(n)+f(1-n)=

1
9n+3
+
1
91-n+3
=
1
9n+3
+
9n
9+3×9n
=
1
3
    (8分)

cn=f(0)+f(

1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
),

可改写为cn=f(

n
n
)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)

∴2cn=[f(0)+f(

n
n
)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]+[f(
n
n
)+f(0)]

故cn=

n+1
6
,即f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)=
n+1
6
   (8分)

1
cncn+1
=
36
(n+1)(n+2)
=36×(
1
n+1
-
1
n+2

1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1

=36×[(

1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n+1
-
1
n+2
)    (12分)

=36×(

1
2
-
1
n+2
)]=18-
36
n+2
(14分)

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