（1）记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ

令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n

令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n

两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）

∴S_n=

1

2

（9ⁿ-1）（4分）

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1当n=1时，a₁=S₁=4，适合上式

∴a_n=4×9^n-1（n∈N）    （6分）

（2）f（n）=

4

4×9n+12

=

1

9n+3

注意到f（n）+f（1-n）=

1

9n+3

+

1

91-n+3

=

1

9n+3

+

9n

9+3×9n

=

1

3

    （8分）

c_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），

可改写为c_n=f（

n

n

）+f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

）+f（0）

∴2c_n=[f（0）+f（

n

n

）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

n-1

n

）+f（

1

n

）]+[f（

n

n

）+f（0）]

故c_n=

n+1

6

，即f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

）=

n+1

6

   （8分）

∴

1

cncn+1

=

36

(n+1)(n+2)

=36×（

1

n+1

-

1

n+2

）

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=36×[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）    （12分）

=36×（

1

2

-

1

n+2

）]=18-

36

n+2

（14分）