在已知等式中

取x=1得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=6²⁰¹⁰，

取x=-1得a₀-a₁+a₂-…+a₂₀₁₀=2²⁰¹⁰，

两式相加得2（a₀+a₂+…+a₂₀₁₀）=6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰，

即a₀+a₂+…+a₂₀₁₀=

1

2

×（6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰）=

1

2

×6²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹．…（6分）

注意到

1

2

×6²⁰¹⁰能被3整除；…（8分）

2²⁰⁰⁹=2×（2²）¹⁰⁰⁴=2×（3+1）¹⁰⁰⁴=2×（3¹⁰⁰⁴+C₁₀₀₄¹•3¹⁰⁰³+…+C₁₀₀₄¹⁰⁰³•3+1），

被3除的余数是2，因此a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余数是2．…（12分）