问题 解答题

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,求直线DA1与AC间的距离.

答案

建立如如图所示坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),

A1(0,0,1),

AC
=(1,1,0),
DA1
=(0,-1,1),

设MN为直线DA1与AC的公垂线段,且

MN
=(x,y,z),

MN
AC
MN
DA1
,x+y=0,-y+z=0,令y=t,则
MN
=(-t,t,t),

而另可设M(m,m,0),N(0,a,b),则

MN
=(-m,a-m,b),

-m=-1
a-m=t
b=t.
∴N(0,2t,t).

又2t+t=1,∴t=

1
3

MN
=(-
1
3
1
3
1
3
,|
MN
|=
1
9
+
1
9
+
1
9
=
3
3

即直线DA1与AC间的距离为

3
3

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