参考答案：x³-6x²+9x+2．

解析：[分析一] 依次考察一次，二次，三次多项式是否满足题目的要求．由于一次多项式P₁(x)=ax+b的图形是一条直线，无极值点，故任何一次多项式都不满足题目的要求．又由于二次多项式P₂(x)=ax²+bx+c的图形是一条抛物线，只有一个极值点，故任何二次多项式也不满足题目的要求．设三次多项式P₃(x)=ax³+bx²+cx+d在x=1处有等于6的极大值，在x=3处有等于2的极小值，则有
P₃(1)=a+b+c+d=6，P₃(3)=27a+9B+3c+d=2．
P₃’(1)=3a+2B+c=0，P₃’(3)=27a+6B+c=0，
由此可解出a=1，b=-6，c=9，d=2．又因三次多项式P₃(x)=x³-6x²+9x+2的二阶导数P₃"(x)=6x-12=6(x-2)满足P₃"(1)=-6，P₃"(3)=6，这表明多项式x3-6x²+9x+2在x=1处有等于6的极大值，在x=3处有等于2的极小值，故三次多项式P₃(x)=x³-6x²+9x+2就是符合题目全部要求的次数最低的多项式．
[分析二] 同[分析一] 可知符合题目全部要求的多项式至少应为三次多项式．若三次多项式P₃(x)符合题目的全部要求，因x=1与x=3是所求函数的驻点，所以其导函数可设为
P₃’(x)=a(x-1)(x-3)=a(x²-4x+3)，
求积分即得
[*]
由P₃(1)=6，P₃(3)=2得[*]，b=3，故a=3，b=2．从而同样求得三次多项式P₃(x)=x³-6x²+9x+2，并可验证它符合题目的全部要求．