问题
问答题
已知由参数方程
确定了二阶可导函数y=f(x)，
(Ⅰ) 求证：点x=0是y=f(x)的极大值点；
(Ⅱ) 求证：y=f(x)在点x=0的某邻域是凸的．
答案
参考答案：(Ⅰ) 由x=arctant知，x=0[*]t=0，x＞0(＜0)[*]t＞0(＜0)．由y=ln(1-t2)-siny知，x=0[*]y=-siny[*]y=0(y+siny单调上升)．
为求[*]，需先求[*]．由参数方程得
[*]
于是 [*]
其中δ＞0是充分小的数．因此，点x=0是y=f(x)的极大值点．
(Ⅱ) 为考察凹凸性，还需求[*]将[*]在x=0求导，注意x=0[*]t=0[*]y=0，于是
[*]
由[*]的连续性，[*]t=0某邻域即x=0某邻域可知[*]，因此y=f(x)在点x=0的某邻域是凸的．