问题
选择题
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上取一点E使AE与AB、AD所成的角都等于60°，则AE的长为．
|
答案
解：连接AC、A1C1，分别在A1C1、AC上取一点E、H，使AH=A1E，连接AE、EH 过H作HI⊥AB于I，连接IE
∵多面体ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴四边形AA1C1C是矩形
∴AH∥A1E，再结合AH=A1E
∴四边形AA1EH是平行四边形
∴EH∥AA1，再结合AA1与平面ABCD垂直
∴EH⊥平面ABCD
∵AC是∠BAD的平分线，AE在底面ABCD内的射影AH在AC上
∴∠EAD=∠EAB
∵AB?平面ABCD，EH⊥平面ABCD
∴AB⊥EH，再结合AB⊥HI，EH∩HI=H 得：AB⊥平面EHI
∵EI?平面EHI
∴EI⊥AB Rt△AEI中，设AI=x，∠EAI=60°
∴cos60°=
，可得AE=2x
Rt△AHI中，∠HAI=45°
∴cos45°=
，可得AH= 
x
在Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2
∴（
x） 2+1 2=（2x） 2，可得x= 
∴AE=2x= 
故选C
