问题
填空题
关于二项式(x-1)2009有下列命题:
①该二项式中非常数项的所有各项系数的和为1.
②该二项式展开式的第5项是-C20095x2004.
③该二项式中系数最大的项是第1005项.
④当x=2009时,(x-1)2009除以2009的余数为2008.
其中正确命题的序号是 ______.(把你认为正确的都填上)
答案
此二项展开式各项系数的和为0,其常数项为-1,故①正确;
其第5项T5=C20094x2009-4•(-1)4=C20094x2005,故②错;
该二项展开式共有2010项,奇数项系数为正、偶数项系数为负,
由二项式系数的性质知第1005项与1006项系数的绝对值最大,故③正确;
(x-1)2009=(x2009-C20091x2008+C20092x2007-+C20092008x)-1=(x2008-C20091x2007+C20092x2006-+C20092008-1)x+x-1.当x=2009时,被2009除的余数为2009-1=2008.故④正确.
故答案为①③④